Merkezi Limit Teoremi

Merhabalar,

Merkezi Limit Teoremi, birbirinden bağımsız ve aynı dağılımı gösteren değişkenlerin aritmetik ortalamalarının yaklaşık olarak normal dağılım gösterdiği durumlardır. Bu teoreme göre, bir veride ölçülen ortalamanın değeri, topluluğun oluşturduğu verilerin ortalamasına eş değerdir.

Merkezi Limit Teoremi’ne göre, n sayısı ne kadar artarsa, değişkenlerin ortalamalarının dağılımı normal dağılıma o kadar yakınsar.

Kısaca şöyle diyebiliriz; Merkezi Limit Teoremine göre popülasyonda ki değişkenlerin ortalamalarını bulduğumuzda, bu ortalama değeri örneklem ortalamasına eşit ya da çok yakın olacaktır. Aynı şekilde popülasyon standart sapması, örneklem satandart sapmasına  eşit ya da oldukça yakın olacaktır.

Örneklem ortalaması:

Örneklem standart sapması:

 
μ = Popülasyon Ortalaması
 
s = Popülasyon Standart Sapması
 
μx¯ = Örneklem Ortalaması
 
σx¯ = Örneklem Standart Sapması
 
n = Örneklem Sayısı
 
 
 

Bulduğumuz popülasyon ortalaması ya da standart sapma değerlerinin gerçek popülasyon değerlerine eşit ya da çok yakın olduğunu söylemiştik. Bu veriler, popülasyonun özelliklerini doğru bir şekilde tahmin etmemizde çok yardımcı olacaktır.

Genel bir kural olarak, 30’a eşit veya daha büyük olan örneklem büyüklükleri merkezi limit teoreminin tutulması için yeterli kabul edilir, yani örneklem sayısı 30 ya da daha fazla olan popülasyonların ortalamalarının dağılımı normal  dağılımdır.

Merkezi limit teoremi çok sayıda analiz prosedürünü basitleştirdiği için çok kullanışlıdır. Merkezi limit teoremi, istatistiklerdeki örneklemenin temelini oluşturur, bu yüzden de finansta örnekleme ve istatistiksel analiz için temel oluşturur. Her tür yatırımcı, hisse senedi getirilerini analiz etmek, portföy oluşturmak ve riski yönetmek için merkezi limit teoremine güvenmektedir.

Merkezi Limit Teoremi’ni daha iyi anlayabilmek adına örnekler yapalım.

Örnek 1:

Erkek nüfusun ağırlık kayıtları normal dağılım şeklindedir. Bu dağılımın ortalama ve standart sapması sırasıyla 70 kg ve 15 kg’dır. Eğer bir araştırmacı 50 erkeğin kayıtlarını değerlendirirse, o zaman seçilen numunenin ortalama ve standart sapması ne olurdu?

Çözüm:

Popülasyon Ortalaması μ = 70 kg

Popülasyon Standart Sapması= 15 kg

Örneklem Sayısı n = 50

Örneklem Ortalaması:

μx¯¯ = 70 kg

Örneklem Standart Sapması:

σx¯¯ = σ/n

σx¯¯ = 15/50

σx¯¯ = 2.121 = 2.1 kg

 

Örnek 2:

Bir sahil bölgesinde, günde yakalanan yengeçlerin sayısı kaydedilmektedir. Ortalama 10’dur ve standart sapma 3’tür. 60 günlük kayıt rastgele seçilirse, seçilen numunenin ortalama ve standart sapmasını bulunuz.

Çözüm:

Popülasyon Ortalaması μ = 10

Popülasyon Standart Sapması= 3

Örneklem Sayısı n = 60

Örneklem Ortalaması:

μx¯ = 10

Örneklem Standart Sapması:

σx¯¯ = σ/n

σx¯¯ = 3/√60

σx¯¯ = 0.387

 

Son olarak sizlerle bu konuyu araştırırken, konuyu daha iyi anlamamı sağlayan bir video paylaşacağım.

 

Bu yazımda Merkezi Limit Teoremi’nden (Central Limit Theorem) bahsettim. Sorularınız için bana hgencer@industryolog.com adresinden ulaşabilirsiniz.

Sağlıcakla Kalın…