Königsberg Köprüsü ve Çizgeler Teoremi

 

18. yy’ da Prusya da Königsberg kasabasında başlayan ve günümüze kadar uzanan bir problem ve çözümü için geliştirilen metot ile matematikte çığır açan bir konu Königsberg Köprüsü ve Çizgeler Teoremi…

Königsberg Köprüsü

Aşağıdaki resimde görülen ve tarihe Königsberg Köprüsü Problemi olarak geçen soruda, 4 ada etrafında toplam 7 adet köprü inşa edilmiştir. Soruda her köprüden yalnızca bir kere geçmek ve köprülerin hepsini kullanmak koşuluyla başladığınız yere geri dönmeniz istenmektedir. Soru ilk bakıldığında basitmiş gibi görünse de yazıldığı dönemde bir çok matematikçinin kulağına gitmiş çözümü üzerinde bir çok çalışmalar yapılmıştır ama çözümü bulunamamıştır.

 

Çizgeler Kuramı

Königsberg Problemi üzerinde bir dizi çalışmalar yürüten bir diğer matematikçi Leonhard Euler idi. Euler bu soru üzerinde çalışırken kendisinin fark edemediği ama daha sonra çizgeler kuramı olarak adlandırılan yeni bir metot keşfetmiştir. Bu teoriye temel olarak bir problemin kenar (edge) ve düğümler (node) ile modellenmesi ve bu modelin bir çizge şeklinde belirtilmesidir. Örneğin aşağıdaki resimde köşeler harflerle belirtilmiş olup toplamda 9 köşe ve 11 kenar içermektedir.

Euler’ in bu keşfi sadece matematiğin kullanım alanı ile sınırlı kalmamıştır. Kimyada moleküller arası bağları veya elementlerin etrafındaki atomları ifade etmek için, bir sosyoloğun gruplar arası davranış ve etkileşimini ortaya koymak ya da işletme ve endüstri mühendisliğinin çalışma alanlarından olan yöneylem araştırmalarında metot oluşturma sırasında kullanılır.

 

 Euler, Königsberg Köprüsü problemini incelerken ortaya genel bir teori atmıştır. Bu teoriye göre  sistemdeki her bir noktaya ulaşan toplam çizgi saysının çift olması yada en fazla iki noktaya ulaşan toplam çizgi sayısının tek olması zorunluydu. Daha açık bir ifade ile:

  1. Bir düğümün derecesi “tek” ise bu düğüm ya başlangıç ya da bitiş noktası olmalıdır.
  2. Yönlü çizgilerin derecesi çift olmak zorundadır. Çünkü köprülerden biri girmek için diğeri çıkmak için kullanılır
  3. Euler yolunda iki veya sıfır sayıda tek dereceli düğümler olmalıdır.

Euler bu teoreme dayanarak Könisberg Köprüsü probleminin  çözülemeyeceğini ispat etmiştir. Çünkü aşağıdaki resme göre A noktasının düğüm sayısı 5 ve B, C, D, noktasının düğüm sayısı 3’tür. Bu durumda düğüm noktalarında iki tanesi başlangıç-bitiş olsa diğer iki tanesini birleştiren yollar tek seferde kullanılamayacaktır. Böylelikle bu problem  Euler teoremine zıt düşmekte olup köprülerin hepsi tek seferde bir kere kullanılarak ziyaret gerçekleştirilemeyeceği kanıtlamıştır.

 

Bir sonraki yazımda görüşmek üzere, esen kalın.

Print Friendly, PDF & Email
Facebook Sayfamizdan Bizleri Takip Edebilirsiniz