Kesikli Olasılık Dağılımları

Kesikli Olasılık Dağılımları

Merhabalar;

Önceki istatistiksel simülasyon modelleri yazılarımda, istatiksel simülasyonda kullandığımız bazı kavramlardan bahsetmiştim. Bu yazımda ise istatistiksel simülasyon modellerine kesikli olasılık dağılımları ile devam edeceğim. Keyifli okumalar.

Bir önceki yazılarımda kesikli rassal değişkenlerin sayılabilir değişkenler olduğunu söylemiştim. Kesikli Olasılık Dağılımları, rassal bir olayın meydana gelmesindeki olası dağılımı tanımlar.

4 çeşit kesikli olasılık dağılım çeşidi vardır. Bunlar:

  1. Bernoulli Dağılımı
  2. Binom Dağılımı
  3. Geometrik ve Negatif Binom Dağılımı
  4. Poisson Dağılımı

1. Bernoulli Dağılımı(Tekli Deney)

Deney sonuçlarının başarılı veya başarısızlık olarak nitelendirildiği deneylere Bernoulli deneyi ya da Bernoulli denemesi denir.

N tane Bernoulli denemesinde, olaylar birbirinden bağımsız ise her bir denemenin iki olası sonucu vardır: Başarı veya Başarısızlık.

Bernoulli dağılımına uygun bir deneme olabilmesi için deneylerin aynı koşullarda tekrar edilebilme şansı olmalıdır. Bernoulli deneylerinde olaylar birbirinden bağımsızdır. Başarılı ve başarısız olma olasılıklarının toplamı 1’dir. Bu yüzden de p=1-q olmalıdır.

Bir Bernoulli rassal değişkeni X için beklenen değer:

ve varyans:

şeklindedir.

Bu dağılımın olasılık kütle fonksiyonu f şöyle ifade edilir:

{\displaystyle f(k;p)=\left\{{\begin{matrix}p&{\mbox{eger }}k=1,\\1-p&{\mbox{ eger }}k=0,\\0&{\mbox{diger hallerde.}}\end{matrix}}\right.}

Bernoulli deneyine örnek verecek olursak;

  • Bir para atıldığında yazı ya da tura gelme durumu
  • Bir fabrikada üretilen ürünlerin hatalı ya da sağlam olma olasılığı

***Bernoulli deneylerinde başarı oranı sabit kalmalıdır.

Birbirinden bağımsız n tane Bernoulli denemesine Bernoulli Process denir.

2.Binom Dağılım(Çoklu Deney)

n tane Bernoulli denemesindeki başarı sayısını Binom dağılım ile gösteririz. Binom dağılımı Bernoulli dağılımındaki tüm özelliklere sahiptir.

Binom dağılımı, bir paranın 20 kez atıldığında 4 kez tura gelme olasılığı bulunurken kullanılabilir ya da bir fabrikada gün içerisinde üretilen 50 tane ürünün 20’sinin hatalı olma olasılığı bulunurken kullanılabilir.

Bir binom dağılım n ve p ile tam olarak tanımlanır.

X ~ B(n,p)

 Eğer n=1 olursa, bu binom dağılım, yani B(1, p), gerçekte bir Bernoulli dağılımı ile aynıdır.

*** Bernoulli Dağılım da Binom dağılım da sadece başarılı ya da başarısızlık durumları ile ilgilenir.

 

k sayıda başarı elde etmek için olasılık kütle fonksiyonu:

{\displaystyle f(k;n,p)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}                                                                             q=1-p’dir.

{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}

 

 Eğer X binom dağılım gösteren bir rassal değişken ise, X in beklenen değeri:

{\displaystyle \operatorname {E} (X)=np\,\!}

olur ve varyans değeri ise:

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=np(1-p).\,\!}

olur.

3.Geometrik ve Negatif Binom Dağılımı

Bernoulli deneyinin tüm varsayımları negatif binom dağılımı için de geçerlidir.

Binom dağılımda “kaç tane başarı olasılığı var” ile ilgilenirken, negatif binom dağılımında “k’nıncı başarıyı elde etmek için yapılan deney sayısı” ile ilgilenilir.

Örnek olarak; bir parayı 10 kez yazı gelinceye kadar attığımızda, 10’uncu yazıyı elde ettiğimiz deneme sayısını verebiliriz.

 x: deney sayısı

k:başarı sayısı

     p:başarı olasılığı

Yukarıdaki formülde (x-1) denemede, (k-1) adet başarı olasılığı hesaplanır ve x’inci denemede k’nıncı başarıyı elde etme olasılığı p ile bağımsız olduğundan bu değerler çarpılır ve olasılık fonksiyonu elde edilir.

Negatif binom dağılımının beklenen değeri ve varyansı aşağıdaki formüller ile hesaplanır.

Negatif binom dağılımından bahsettik. Şimdi de Negatif binom dağılımının özel bir durumu olan Geometrik dağılımdan bahsedelim.

Bernoulli deneyinin tüm varsayımları Geometrik dağılım için de geçerlidir. Başarı sayısı k=1 olduğunda negatif binom dağılımı geometrik dağılım olarak ifade edilir.

 

Geometrik dağılımının beklenen değeri ve varyansı aşağıdaki formüller ile hesaplanır.

4.Poısson Dağılımı

Binom dağılımının özel bir durumudur. Poisson dağılımı da kesikli bir olasılık dağılımıdır. Poisson dağılımı, gözlem sayısının çok yüksek veya beklenen değerin gelme olasılığının çok küçük olduğu durumlarda kullanılır. Poisson’da çok fazla deneme yapılsa dahi olayların gözlenme sıklıklarının düşük olduğu görülür.

***Bir poisson dağılımı her zaman bir binom dağılımı olmasına rağmen, her binom dağılımı poisson dağılımı değildir.

  • Bir yıl içinde Türkiye’de bozulan tren sayısı;
  • 2 ayda düşen uçak sayısı;
  • Bir dönem içinde girilen hatalı not sayısı;
  • Bir saat aralığında belli bir Internet sitesine gelen bağlantılar sayısı;
  • Yarım saat içinde bir nakliyat deposuna yükleme-boşaltma için gelen kamyon sayısı;
  • Her bir beş dakika içinde bir telefon cevap merkezine gelen telefonların sayısı;
  • Belli bir trafik kavşağından 1 dakika içinde geçen otomobil sayısı;

Tüm bu örneklere baktığımızda Poisson dağılımın hep belirli aralıklarla ilgilendiğini görürüz.

 

Poisson dağılımın olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi ifade edilebilir.             

ʎ = np, beklenen sonucun ortalama gerçekleşme sayısını (Aritmetik ortalama),
e = 2.71828 doğal logaritmanın tabanıdır.

Poisson Dağılımının Aritmetik Ortalaması ve Varyansı:

E(X)=V(X)= ʎ

Poisson Olasılık Kütle Fonksiyonu OKF

 

  • Deneme sayısı n’in çok büyük olduğu ve parametre değeri p’nin çok küçük olduğu dağılımlar poisson dağılımı oluştururlar.
  • Poisson dağılımda bir olayın az rastlanan bir olay olduğunu söylemiştik. Bir olayın az rastlanan bir olay olması için n>=50 ve n.p<5 olmalıdır.

 

Bu yazımda kesikli olasılık dağılım çeşitleri nelerdir, nasıl hesaplanır bahsettik. Sorularınız için bana hgencer@industryolog.com adresinden ulaşabilirsiniz.

Sağlıcakla Kalın…