Monte Carlo Simülasyonu ve Teknikleri

Merhabalar, Bu yazımda Monte Carlo simülasyonu ve tekniklerinden bahsettim. Faydalı olması dileğiyle, İyi okumalar…

Monte Carlo simülasyonu rassal (random) değişkenler kullanılarak stokastik ya da deterministik problemlerin çözümünde kullanılan bir tekniktir. Monte-Carlo Nicholas Constantine Metropolis (1915-1999) tarafından bulunmuştur. Atom bombasının geliştirildiği Los Alamos Ulusal Laboratuvarında, bombanın patlamasından sonra dağılan nötronlara karşı kalkan modellemek için Stanislaw Ulam tarafından kullanılmıştır.

Karar vermeye çalışırken bir veya birden çok belirsizlik ve değişkenliklerle karşılaşırız. Monte Carlo karar vermemize yardımcı olan risk analizi yöntemlerinden biridir. Girdileri tek bir değer yerine olasılık dağılımıyla göstererek, çıktının nasıl bir dağılım göstereceğini bulur. Belirsizlik ve değişken sayısına, bu değerlerin nasıl değiştiğine bağlı olarak bütün olası sonuçları gösterir. Belirsizlik ve değişkenlik altında daha iyi karar verebilmemizi sağlar.

Monte Carlo simülasyonu sistemi optimize etmez. Amacı, sistemi matematiksel model ile tanımlayarak statik simülasyon modeli kurmaktır.

Monte Carlo Simülasyon Teknikleri

  • Reddetme (rejetion) Yöntemi

Bu yöntem uygulanmak istendiğinde, öncelikle seçilen bir dağılım fonksiyonu kullanılarak elde edilen rastgele değerlerden çözüme gidilmeye çalışılır. Seçilen rastgele noktalar, eğer f(x) fonksiyonuna ait eğrinin altında kalıyorsa kabul, üstünde ise reddedilerek toplam yapılan denemelerden kaç tanesinin başarılı sonuç verdiği hesaplanır. Yapılan işlemler sonucunda, toplam deneme sayısının başarılı deneme sayısına oranı, toplam alanın integrali alınmak istenen f(x) fonksiyonunun alanına oranını verir.

 

  • Ortalama (Averaging) Yöntemi

Ortalama yöntemi de rastgele seçilen sayılar/noktalar üzerinde işlem yapar. Reddetme yönteminden farklı olarak, alan taramak yerine, seçilen noktalardaki fonksiyonun değerinden yola çıkarak sonucu bulmaya çalışır.

  • Kontrol Değişkeni (Control Variates) Yöntemi

Bu yöntemde, integrali alınmak istenen f(x) fonksiyonuna oldukça yakın bir h(x) yardımcı fonksiyonu kullanılır. Bu yardımcı fonksiyonun integral değeri, f(x) fonksiyonumuzdan daha kolay hesaplanabilir veya çözümü bilinen bir fonksiyon olmalıdır. Böylelikle seçilen her rastgele noktada iki fonksiyonun farkından, integral değerleri arasındaki fark bulunmaya çalışılır. Elde edilen fark değeri h(x) fonksiyonunun integral değerine eklenerek f(x) fonksiyonuna ulaşılmaya çalışılır.

  • Önem Örneklemesi (Importance Sampling) Yöntemi

Bu yöntem, bir önceki kontrol değişkeni yöntemine oldukça benzerdir. Kontrol yönteminden farklı olarak kullanılan h(x) yardımcı fonksiyonunun etkisi toplamsal değil çarpımsaldır. Kontrol değişkeni yönteminde olduğu gibi seçilen h(x) fonksiyonunun doğruluğu hata oranını azaltmaktadır. Elde edilen fark değeri h(x) fonksiyonunun integral değeri ile çarpılarak f(x) fonksiyonuna ulaşılmaya çalışılır.